科目代码：601

科目名称：高等代数

适用专业：数学类各专业

考试时间：3小时

考试方式：笔试

总分：150分

考试范围：

一、多项式

1．多项式的带余除法及整除性；

2．多项式的因式分解、最大公因式、互素和重因式；

3.不可约多项式的判定和性质；

4．多项式函数与多项式的根；

二、行列式

1．行列式的定义及性质；

2.行列式按一行（列）展开；

3．运用行列式的性质及展开定理等计算行列式。

三、 线性方程组 

1．线性方程组的求解和讨论；

2．线性方程组有解的判别定理；

3．线性方程组解的结构及其解空间的讨论。

四、 矩阵 

1．矩阵的基本运算、矩阵的分块；

2．矩阵的初等变换、初等矩阵；

3.矩阵的等价、合同、正交相似；

4．逆矩阵、伴随矩阵及其性质；

5．矩阵的秩，矩阵乘积的行列式与秩；

6.运用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵；

7.矩阵的特征值与特征向量，对角化矩阵。

五、 二次型

1．二次型及其矩阵表示；

2．C、R、Q上二次型标准形与规范形；

3．正定二次型及其讨论。

六、 线性空间

1．线性空间、子空间的定义与性质；

2.向量组的线性相关性、极大线性无关组；

3.线性空间的基、维数、向量关于基的坐标，基变换与坐标变换；

4.生成子空间，子空间的和与直和、维数公式；

七、 线性变换

1．线性变换的定义、性质与运算；

2.线性变换的矩阵表示；

3．线性变换的核、值域的概念；

4.线性变换及其矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的概念和计算、特征子空间；

八、欧式空间

1．内积与欧氏空间的定义及性质，向量的长度、夹角、距离，正交矩阵；

2.正交子空间与正交补；

3．欧氏空间的度量矩阵、标准正交基、线性无关向量组的Schmidt正交化方法；

4．实对称矩阵的正交相似对角化的求法。

样题：

一、（10分）证明：如果，那么.

二、（15分）计算阶行列式：.

三、（15分）已知线性方程组，讨论取何值时，方程组有唯一解？无解？有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解.

四、（15分）设实矩阵，为维行向量，且，

证明：是可逆矩阵，并求.

五、（15分，第1小题5分，第2小题10分）

设是一个维欧氏空间，是中一个固定向量.

（1）证明：是的一个子空间；

（2）证明：的维数为.

六、（15分，第1小题5分，第2小题10分）

设二次型通过正交变换化为标准形.

（1）写出这个二次型的秩，正、负惯性指数及符号差；

（2）求参数的值和正交矩阵.

七、（10分）设是级实对称矩阵，且满足，的秩为，试求

行列式，其中是级单位矩阵.

八、（15分，每小题各5分）设是全体次数不超过的实系数多项式组成的实数域上的线性空间.定义上的线性变换：

，.

（1）写出在基下的矩阵；

（2）求的核及值域；

（3）证明：.

九、（15分，第1小题10分，第2小题5分）

设为实矩阵，是维列向量.证明：

（1）；

（2）线性方程组总有解.

十、（15分）已知矩阵，且，其中是的伴随矩阵，求矩阵.

十一、（10分，每小题各5分）设是维欧氏空间中的非零向量，定义变换如下：

（1）证明：是线性变换；

（2）证明：是对称变换.

参考书目

北京大学数学系前代数小组.高等代数.高等教育出版社，2013年8月.第4版.